Question

16．定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱為垂足三角形．在銳角三角形ABC的每條邊上各取一點D，E，F，△DEF稱為△ABC的內接三角形．垂足三角形的性質：在銳角三角形ABC的所有內接三角形中，周長最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，點D，E，F分別為AB，BC，AC上的動點，AB=AC=5，BC=6，則△DEF周長的最小值為$\frac{198}{25}$．

Answer 1

分析 根據等腰三角形的性質得到BE=CE=3，由勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4，根據直角三角形的性質得到DE=EF=$\frac{1}{2}$BC=3，由相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：∵AB=AC=5，BC=6，
∴BE=CE=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4，
∵CD⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$BC•AE，
∴BF=$\frac{24}{5}$，
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{17}{5}$，
∴AF=$\frac{8}{5}$，
∵△ADF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{DF}{BC}$，
∴DF=$\frac{48}{25}$，
∴△DEF的周長的最小值=3+3+$\frac{48}{25}$=$\frac{198}{25}$．
故答案為：$\frac{198}{25}$．

點評 本題考查了最短距離問題，等腰三角形的性質，掌握的理解題意是解題的關鍵．