Question

12．已知直線y=2x-5與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線y=-x²+bx+c的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．
（1）如圖，當點M與點A重合時，求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，求點N的坐標和線段MN的長；
（3）拋物線y=-x²+bx+c在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可得A，B的值，根據(jù)頂點式，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得N點坐標，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，可得M點的坐標，要分類討論，以防遺漏．

解答 解：（1）∵直線y=2x-5與x軸和y軸分別交于點A和點B，
∴A（$\frac{5}{2}$，0），B（0，-5）．
當點M與點A重合時，∴M（$\frac{5}{2}$，0），
∴拋物線的解析式為y=-（x-$\frac{5}{2}$）²，即y=-x²+5x-$\frac{25}{4}$；

（2）N在直線y=2x-5上，設N（a，2a-5），又N在拋物線上，
∴2a-5=-a²+5a-$\frac{25}{4}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{5}{2}$（舍去），
∴N（$\frac{1}{2}$，-4）．
過點N作NC⊥x軸，垂足為C，如圖1
，
∵N（$\frac{1}{2}$，-4），
∴C（$\frac{1}{2}$，0），
∴NC=4．MC=OM-OC=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
∴MN=$\sqrt{N{C}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）設M（m，2m-5），N（n，2n-5）．
∵A（$\frac{5}{2}$，0），B（0-，5），
∴OA=$\frac{5}{2}$，OB=5，則OB=2OA，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
如圖2，
當∠MON=90°時，∵AB≠MN，且MN和AB邊上的高相等，因此△OMN與△AOB不能全等，
∴△OMN與△AOB不相似，不滿足題意；
當∠OMN=90°時，$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OM}{MN}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{OM}{2\sqrt{5}}$，解得OM=$\sqrt{5}$，
則m²+（2m-5）²=（$\sqrt{5}$）²，解得m=2，∴M（2，-1）；
當∠ONM=90°時，$\frac{OA}{OB}$=$\frac{ON}{MN}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{ON}{MN}$，解得ON=$\sqrt{5}$，則n²+（2n-5）²=（$\sqrt{5}$）²，解得n=2，
∵OM²=ON²+MN²，即m²+（2m-5）²=5+（2$\sqrt{5}$）²，解得m=4，則M點的坐標為（4，3），
綜上所述：M點的坐標為（2，-1）或（4，3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是頂點是函數(shù)解析式；解（2）的關(guān)鍵是利用函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式得出N點坐標；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．