Question

3．某旅游風景區出售一種紀念品，該紀念品的成本為12元/個，這種紀念品的銷售價格為x（元/個）與每天的銷售數量y（個）之間的函數關系如圖所示．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）銷售價格定為多少時，每天可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．
（3）“十•一”期間，游客數量大幅增加，若按八折促銷該紀念品，預計每天的銷售數量可增加200%，為獲得最大利潤，“十•一”假期該紀念品打八折后售價為多少？

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象中兩個點的坐標，利用待定系數法求解可得；
（2）根據“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數解析，利用二次函數的性質可得最值情況；
（3）根據（2）中相等關系列出函數解析式，由二次函數的性質求解可得．

解答 解：（1）設y=kx+b，
根據函數圖象可得：$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=150}\\{20k+b=100}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=200}\end{array}\right.$，
∴y=-5x+200；

（2）設每天獲利w元，
則w=（x-12）y=-5x²+260x-2400=-5（x-26）²+980，
∴當x=26時，w最大，最大利潤為980元；

（3）設“十一”假期每天利潤為P元，
則P=（0.8x-12）•y（1+200%）=-12x²+660x-7200=-12（x-$\frac{55}{2}$）²+1875，
∴當x=$\frac{55}{2}$時，P最大，
此時售價為0.8×$\frac{55}{2}$=22，
答：“十•一”假期該紀念品打八折后售價為22元．

點評 本題主要考查二次函數的應用和待定系數法求一次函數的解析式，熟練掌握銷售問題中關于總利潤的相等關系和二次函數的性質是解題的關鍵．