Question

15．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$．點D由A出發沿AC向點C勻速運動，同時點E由B出發沿BA向點A勻速運動，它們的速度相同，點F在AB上，FE=4cm，且點F 在點E的下方，當點D到達點C時，點E，F也停止運動，連接DF，設AD=x（0≤x≤6）．解答下列問題：

（1）如圖1，當x為何值時，△ADF為直角三角形；
（2）如圖2，把△ADF沿AB翻折，使點D落在D′點．
①當x為何值時，四邊形ADFD′為菱形？并求出菱形的面積；
②如圖3，分別取D′F，D′E的中點M，N，在整個運動過程中，則線段MN掃過的區域的形狀為平行四邊形，其面積為$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 （1）△ADF為直角三角形，有兩種可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根據銳角三角函數，分兩種情況進行討論，列方程求解即可；
（2）①根據菱形的判定，可知當AD=DF時，四邊形ADFD′為菱形，根據銳角三角函數列方程求出x，計算菱形的面積即可；②根據三角形中位線定理可知，線段MN掃過的區域的形狀是平行四邊形，其面積為$\frac{24}{5}$．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴BC=8，AB=10，
∴AD=x，BE=x，AF=6-x，
當∠ADF=90°，如圖1左圖，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{x}{6-x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{9}{4}$；
當∠AFD=90°，如圖1右圖，
∵tanA=$\frac{4}{3}$
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{6-x}{x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴當x=$\frac{9}{4}$或$\frac{15}{4}$，△ADF為直角三角形；

（2）①如圖2，∵AD=AD′，D′F=DF，
∴當AD=DF時，四邊形ADFD′為菱形，
∴連接DD′⊥AF于G，AG=$\frac{6-x}{2}$，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AG}{AD}$=$\frac{\frac{6-x}{2}}{x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
∴S_菱形=$\frac{1}{2}$×DD'×AF=$\frac{1}{2}$×$\frac{48}{11}$×$\frac{36}{11}$=$\frac{864}{121}$；

②平行四邊形，$\frac{24}{5}$．
理由：如圖3，∵M、N分別為D′F、D′E的中點，
∴MN∥EF，MN=$\frac{1}{2}$EF=2，
∴線段MN掃過的區域的形狀是平行四邊形，
當D運動到C，則F正好運動到A，此時MA=$\frac{1}{2}$D′A=$\frac{1}{2}$DA=3，
∵∠DAB=∠D′AB，
∴tanA=tan∠D′AB=$\frac{4}{3}$，
設點M到AB的距離為4x，則（3x）²+（4x）²=3²，
解得：x=$\frac{3}{5}$，
∴4x=$\frac{12}{5}$，
∴線段MN掃過的區域的面積=2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
故答案為：平行四邊形，$\frac{24}{5}$．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了銳角三角函數、直角三角形的判定、菱形的性質、勾股定理以及三角形中位線性質的綜合運用，具備較強的數形結合能力是解決問題的關鍵．解題時注意分類討論思想和方程思想的運用．