Question

17．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-l，且經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)作直線．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）點(diǎn)M是直線BC上方的拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和△MBC的最大面積；
（4）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接PC，試判斷PC與BC是否垂直？

Answer 1

分析 （1）把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，結(jié)合對稱軸公式，可得到關(guān)于a、b、c的方程組，可求得拋物線解析式；
（2）利用拋物線的對稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；
（3）可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，過M作MD交直線BC于點(diǎn)D，則可用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出MD的長，則可表示出△MCB的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得△MBC的最大值和M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）由P、B、C的坐標(biāo)可求得PB、PC和BC的長，由勾股定理的逆定理可證得△PBC為直角三角形，可證明PC⊥BC．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x=-1，
根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3；
（2）設(shè)直線BC解析式為y=mx+n，
∵對稱軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），
∴B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x+3；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，-t²-2t+3），
如圖1，過M作MD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則D（t，t+3），

∵點(diǎn)M是直線BC上方的拋物線上的一動點(diǎn)，
∴MD=-t²-2t+3-（t+3）=-t²-3t，
S_△MBC=$\frac{1}{2}$MD•OB=$\frac{1}{2}$×3×（-t²-3t）=$\frac{3}{2}$×（-t²-3t）=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△MBC最大，最大值為$\frac{27}{8}$，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（4）如圖2，連接PB，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N．

由（1）可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），
∴PN=1，ON=4，
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴PB²=（3-1）²+4²=20，PC²=1²+（4-3）²=2，BC²=3²+3²=18，
∴PC²+BC²=2+18=20=PB²，
∴△PCB為Rt△，∠PCB=90°，
∴PC⊥BC．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理及其逆定理及方程思想等知識．在（1）（2）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（3）中用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出△MBC的面積是解題的關(guān)鍵，在（4）中求得PB、PC和BC的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．