Question

6．如圖，MP切⊙O于點M，直線PO交⊙O于點A、B，弦AC∥MP，交OM于點D．
（1）求證：MO∥BC；
（2）若DM=2，AC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)可知OM⊥MP，結(jié)合條件可證得MO⊥AC，由圓周角定理可求得∠BCA=90°，則可證得BC∥OM；
（2）連接OC，設(shè)半徑為r，則可知OC=OM=r，由垂徑定理可求得CD，在Rt△COD中，利用勾股定理可列方程，可求得圓的半徑．

解答 （1）證明：
∵MP切⊙O于點M，
∴OM⊥MP，
∵AC∥MP，
∴OM⊥AC，
∴∠ODA=90°，
∵AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
∴MO∥BC；
（2）解：
連結(jié)OC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OM=r．

∵OM⊥AC，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3，OD=OM-DM=r-2，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，即r²=（r-2）²+3²，
解得，r=$\frac{13}{4}$，即⊙O的半徑為$\frac{13}{4}$．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵．