Question

15．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=$\frac{9}{4}$，點D是BC邊上的一點，AD=BD=2DC，設△ABD與△ACD的內切圓半徑分別為r₁，r₂，那么$\frac{r_1}{r_2}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如圖，設⊙O與△ABD內切于E、F、G．首先證明AE=BE=BF=AG=$\frac{3}{2}$，設DF=DG=m，由AD=2DC，推出CD=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$+m），由S_△ABD：S_△ADC=BD：DC=2：1，
可得$\frac{1}{2}（3+3+2m）•{r}_{1}$：$\frac{1}{2}$[$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}（\frac{3}{2}+m）$]•r₂=2：1，由此即可得出結論．

解答 解：如圖，設⊙O與△ABD內切于E、F、G．

∵DA=DB，DG=DF，
∴BF=AG=BE=AE，
∵AB=3，
∴AE=BE=BF=AG=$\frac{3}{2}$，設DF=DG=m，
∵AD=2DC，
∴CD=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$+m），
∵S_△ABD：S_△ADC=BD：DC=2：1，
∴$\frac{1}{2}（3+3+2m）•{r}_{1}$：$\frac{1}{2}$[$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}（\frac{3}{2}+m）$]•r₂=2：1，
∴（6+2m）•r₁：$\frac{3}{4}$（2+2m）•r₂═2：1，
∴r₁：r₂=3：2．
故選C．

點評 本題考查三角形的內切圓與內心、切線長定理、三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r（r為內切圓半徑）等知識，解題的關鍵是靈活運用切線長定理，學會利用參數解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．