Question

6．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，以AD為斜邊在△ABC外作等腰直角三角形AED，連結BE、EC．試猜想線段BE和EC有何關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 由條件可求得AB=CD、DE=AE，且∠BAE=∠EDC=135°，可證明△ABE≌△DCE，再利用∠AEB=∠DEC，可證得BE⊥CE．

解答 解：
猜想：BE=CE，BE⊥CE．
證明如下：
∵AC=2AB，D是AC的中點，
∴CD=AB，
∵△AED為等腰直角三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠CDE=135°，
在△ABE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠BAE=∠CDE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∴∠BED+∠DEC=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥CE，
即BE和CE的關系為相等且垂直．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質及等腰直角三角形的判定和性質，由條件證得△ABE≌△DCE是解題的關鍵，注意利用等腰直角三角形的性質．