Question

18．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長為（　　）

• A． $\sqrt{12}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{8}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據直角三角形斜邊上的中線的性質可得DG=AG，根據等腰三角形的性質可得∠GAD=∠GDA，根據三角形外角的性質可得∠CGD=2∠GAD，再根據平行線的性質和等量關系可得∠ACD=∠CGD，根據等腰三角形的性質可得CD=DG，再根據勾股定理即可求解．

解答 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴AD⊥DE，
∵G為AF的中點，即DG為斜邊AF的中線，
∴DG=AG=FG=3，
∴∠GAD=∠GDA，
∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠ACB，
設∠ACB=α，則∠ACD=2α，
∵∠GAD=∠GDA=α，
∴∠DGC=2α，即∠ACD=∠DGC，
∴DG=DC=3，
在Rt△DEC中，DC=3，EC=1，
根據勾股定理得：DE=$\sqrt{D{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{8}$，
故選C．

點評 本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質，直角三角形的性質的應用，平行線的性質，解此題的關鍵是證出DG=DC．