Question

10．如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l₁，l₂，l₃，l₄上，AD，BC邊分別與l₂，l₃相交于點F，E，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為a，b，c（a＞0，b＞0，c＞0），且AB邊于直線l₂的夾角為α，則下列結論錯誤的是（　　）

• A． a=c
• B． 當a=b=c時，四邊形BEDF是菱形
• C． $\frac{AF}{AB}$=$\frac{a}{a+b}$
• D． 正方形ABCD面積為（a+b）²+c²

Answer 1

分析 過A點作AM⊥l₃分別交l₂、l₃于點P、M，過C點作CN⊥l₂分別交l₂、l₃于點N、Q，根據正方形的性質和平行線的性質，證△ABP≌△CDQ，根據全等三角形的性質到AP=CQ，即a=c，故A正確；根據相似三角形的判定和性質得到即$\frac{AF}{AB}=\frac{a}{a+b}$，故C正確；易證△APB≌△DAM≌△BCN≌△CQD，且兩直角邊長分別為a、a+b，
根據正方形和三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：過A點作AM⊥l₃分別交l₂、l₃于點P、M，過C點作CN⊥l₂分別交l₂、l₃于點N、Q，
∵四邊形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABF+∠NBC=90°，
∵CN⊥l₂，
∴∠BCN+∠NBC=90°，
∴∠BCN=∠ABP，
∵∠BCN=∠CDQ，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵∠APB=∠CQD=90°，
在△ABP和△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠CDQ}\\{∠APB=∠CQD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（AAS）
∴AP=CQ，
即a=c，故A正確；
∵PF∥DM，
∴△APF∽△AMD，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AP}{AM}$，
即$\frac{AF}{AB}=\frac{a}{a+b}$，故C正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠APB=∠DMA=∠BNC=∠CQD=90°，∠ABP=∠MAD=∠BCN=∠CDQ，
∴△APB≌△DAM≌△BCN≌△CQD，且兩直角邊長分別為a、a+b，
∴四邊形NQMP是邊長為b的正方形，
∴S=4×$\frac{1}{2}$a（a+b）+b²=2a²+2ab+b²=（a+b）²+a²，
∵a=c，
∴S=（a+b）²+c²，故D正確，
故選B．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正方形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．