Question

14．如圖1，A（0，-1），A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，AB=2，EF∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，交y軸于F點(diǎn)．
（1）求∠AEF；
（2）如圖2，將△AEF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△APQ，PQ分別交y軸于M，交BC延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，PA交BC于H點(diǎn)，當(dāng)D（m，2）時(shí)，問(wèn)AM+DH大小是否變化并證明．

Answer 1

分析 （1）先利用銳角三角函數(shù)即可得出∠BAO=60°，進(jìn)而得出△ABC是等邊三角形，最后用平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，即可得出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求出CD=2，根據(jù)∠DCM=60°構(gòu)造出等邊三角形，進(jìn)而判斷出△ACH≌△DMN，最后代換即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（0，-1），
∴OA=2，
在Rt△AOB中，AB=2，OA=1，
∴cos∠BAO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAO=60°，
∵A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴C（0，1），
∴AC=2=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°；

（2）AM+DH大小不發(fā)生變化，
理由：如圖，在Rt△AOB中，AB=2，OA=1，根據(jù)勾股定理得，OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴B（-$\sqrt{3}$，0），
∵C（0，1），
∴直線BC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∵D（m，2）在直線BC上，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+1=2，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴D（$\sqrt{3}$，2），
∴CD=$\sqrt{3+（2-1）^{2}}$=2，
由（1）知，△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
在AC上取一點(diǎn)N使CN=CD=2，
∴△CDN是等邊三角形，
∴DN=CD=2，∠DNM=∠CDN=60°=∠ACH，
∴∠PDB+∠PDN=60°，
∵△AEF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△APQ，
∴∠P=∠AEF=60°=∠ABC，
∵∠DHP=∠AHB，
∴∠PAB=∠PDB，
∴∠PDN+∠PAB=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAC+∠PAB=60°，
∴∠PAC=∠PDN，
∵AC=2=DN，
在△ACH和△DMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠DNM=60°}\\{AC=DN}\\{∠CAH=∠NDM}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△DMN（ASA），
∴CH=MN．
∴AM=AN-MN=CN+AC-MN=2+2-MN=4-MN，
∵DH=CD+CH=2+MN，
∴AM+DH=4-MN+2-MN=6．
即：AM+DH不發(fā)生變化，是定值為6．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)；構(gòu)造出等邊△CDN是解本題的關(guān)鍵．