Question

1．已知，△ABC中，AC=BC．∠ACB=90°，CD為邊AB上的中線，若E是CA上一點，F是CB上一點，且AE=CF，連接EF．
（1）試證明：△DEF是等腰直角三角形；
（2）過點D作DG⊥EF于G，連接CG并延長交AB于點H．
①試證明：CG=GD；
②若AE=5，CH=13，求CE的長度．

Answer 1

分析 （1）先根據等腰直角三角形的性質，得出△AED≌△CFD（SAS），進而得到DE=DF，∠ADE=∠CDF，再根據CD⊥AB，即可推導得出∠EDF=90°，進而得到△DEF是等腰直角三角形；
（2）①先根據△DEF是等腰直角三角形，DG⊥EF，運用三線合一得出G為EF的中點，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出CG=GD；
②先根據等角的余角相等，得出DG=GH，再根據直角三角形的性質，得出EF=CH=13，最后運用勾股定理，在Rt△CEF中，求得EC的長度．

解答 解：（1）如圖1，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD為邊AB上的中線，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，即∠A=∠DCF．
∵在△AED與△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）①如圖2，∵△DEF是等腰直角三角形，DG⊥EF，
∴G為EF的中點，
∴Rt△DEF中，DG=$\frac{1}{2}$EF．
∵∠ECF=90°，G為EF的中點，
∴Rt△CEF中，GC=$\frac{1}{2}$EF．
∴CG=GD；

②由（1）可知，DG=CG，∠CDF=90°，
∴∠CDG=∠GCD，
又∵∠CDG+∠GDH=∠DCG+∠DHG=90°，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=$\frac{1}{2}$CH，
∵∠ECF=90°，G為EF中點，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=CH=13，
由（1）可知，△AED≌△CFD，
∴AE=CF=5，
∴Rt△CEF中，EC=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質，以及直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半．