Question

17．（1）如圖1，直線AB：y=-2x+8分別交x軸、y軸于點A、B，與直線OC：y=$\frac{6}{5}$x交于點C．
求①點C的坐標；
②△OAC的面積．
（2）如圖2，已知直線OC：y=$\frac{6}{5}$x，作∠AOC的平分線ON，△OAC的面積為5，且OA=4，P、Q分別為線段OA、OE上的動點，連結AQ與PQ，試探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）①首先求得A、B的坐標，利用方程組求出點C的坐標，②根據三角形的面積公式計算即可；
（2）當A、Q、H在同一直線上，且AH⊥OC時，AQ+HQ最小．即AQ+PQ存在最小值，求得OC的長，利用三角形的面積公式即可求得AQ+PQ的最小值．

解答 解（1）①在y=-2x+8中，令y=0，解得：x=4，
令x=0，解得：y=8，
則A的坐標是（4，0），B的坐標是（0，8），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{5}x}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{5}{2}$，3），
②∵A（4，0），B（0，8），C（$\frac{5}{2}$，3），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

（2）存在．
由題意，在OC上截取OH=OP，連結HQ，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
在△POQ和△HOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OH=OP}\\{∠HOQ=∠POQ}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴△POQ≌△HOQ（SAS），
∴PQ=HQ，
∴AQ+PQ=AQ+HQ，
當A、Q、H在同一直線上，且AH⊥OC時，AQ+HQ最小．即AQ+PQ存在最小值．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•OA×h=5，解得h=$\frac{5}{2}$，
∴點C的縱坐標為$\frac{5}{2}$，
∴點C橫坐標為$\frac{25}{12}$，
∴C（$\frac{25}{12}$，$\frac{5}{2}$），
∴OC=$\frac{5\sqrt{61}}{12}$，
∴$\frac{1}{2}$•OC•AH=5，
∴AH=$\frac{24\sqrt{61}}{61}$
∴這個最小值為 $\frac{24\sqrt{61}}{61}$．

點評 本題考查一次函數綜合題、三角形的面積、全等三角形的判定和性質、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，學會利用方程組確定兩個函數圖象的交點坐標，屬于中考常考題型．