Question

8．定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把$\frac{1}{1-a}$稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推a_n+1是a_n的差倒數(shù)，請你直接寫出a₂₀₁₆=4．

Answer 1

分析 求出數(shù)列的前4項，繼而得出數(shù)列的循環(huán)周期，然后求解可得．

解答 解：∵a₁=-$\frac{1}{3}$，
a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
…，
∴這列數(shù)每3個數(shù)為一周期循環(huán)，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解決此類問題時通常需要確定數(shù)列與序數(shù)的關(guān)系或者數(shù)列的循環(huán)周期等，此題得出這列數(shù)每3個數(shù)為一周期循環(huán)是解題的關(guān)鍵．