Question

9．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，則四邊形ABCD的面積為42．

Answer 1

分析 如圖，作∠ADO的平分線DP交AC于P，作PE⊥AD于E．由△POD∽△BOC，得$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$，設OP=x，推出OD=2x，由PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，推出PE=OP，由$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△DPO}}$=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{\frac{1}{2}•AD•PE}{\frac{1}{2}•DO•OP}$，推出$\frac{AD}{2x}$=$\frac{4-x}{x}$，推出AD=2（4-x），在Rt△ADO中，根據AD²=AO²+DO²，可得4（4-x）²=4x²+4²，求出x的值，再根據S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$•BD•AO+$\frac{1}{2}$•BD•OC=$\frac{1}{2}$•BD（OA+OC）計算即可．

解答 解：如圖，作∠ADO的平分線DP交AC于P，作PE⊥AD于E．

∵∠ADO=2∠BCO，
∴∠PDO=∠BCO，
∵∠POD=∠BOC，
∴△POD∽△BOC，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$，設OP=x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{DO}{8}$，
∴OD=2x，
∵PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，
∴PE=OP，
∴$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△DPO}}$=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{\frac{1}{2}•AD•PE}{\frac{1}{2}•DO•OP}$，
∴$\frac{AD}{2x}$=$\frac{4-x}{x}$，
∴AD=2（4-x），
在Rt△ADO中，∵AD²=AO²+DO²，
∴4（4-x）²=4x²+4²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴OD=3，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$•BD•AO+$\frac{1}{2}$•BD•OC=$\frac{1}{2}$•BD（OA+OC）=$\frac{1}{2}$×7×12=42．
故答案為42．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、角平分線的性質、勾股定理、四邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會構建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．