Question

7．如圖，在等邊△ABC中，直線AM為△ABC的對稱軸，點M在BC上．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．

（1）∠CAM=30°；
（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；
（3）當動點D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質：等邊三角形的每一個內角都等于60°，且AM是對稱軸進行求解；
（2）根據等邊三角形的性質，可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質得出∠BCE=∠ACD，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）需要分三種情況討論：當點D在線段AM上時，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出結論；當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結論；當點D在線段MA的延長線上時，如圖3，通過得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結論．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AM為△ABC的對稱軸，
∴線段AM為BC邊上的中線，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠CAM=30°．
故答案為：30；

（2）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；

（3）∠AOB是定值60°．
理由如下：①當點D在線段AM上時，如圖1，
由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，
又∠ABC=60°，
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，
∵∠BAM=∠BAC-∠CAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
②當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
③當點D在線段MA的延長線上時，如圖3，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠CAM=30°，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
綜上所述，當動點D在直線AM上時，∠AOB是定值，且∠AOB=60°．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，直角三角形的性質，等式的性質以及全等三角形的判定及性質的綜合運用，解答時證明三角形全等是關鍵．解題時注意：全等三角形的對應角相等；等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．