Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=x-1與x軸交于點A，如圖所示依次作正方形A₁B₁C₁O，正方形A₂B₂C₂C₁，…，正方形A_nB_nC_nC_n-1，使得點A₁、A₂、A₃…A_n在直線l上，點C₁、C₂、C₃…C_n在y軸正半軸上，請解決下列問題：
（1）點A₆的坐標是A₆（32，31）；點B₆的坐標是（32，63）；
（2）點A_n的坐標是（2^n-1，2^n-1-1）；正方形A_nB_nC_nC_n-1的面積是2^2n-2．

Answer 1

分析 根據一次函數圖象上點的坐標特征找出A₁、A₂、A₃、A₄的坐標，結合圖形即可得知點B_n是線段C_nA_n+1的中點，由此即可得出點B_n的坐標，然后根據正方形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（1）觀察，發現：A₁（1，0），A₂（2，1），A₃（4，3），A₄（8，7），A₅（16，15），A₆（32，31），…，
∴A_n（2^n-1，2^n-1-1）（n為正整數）．
觀察圖形可知：點B_n是線段C_nA_n+1的中點，
∴點B_n的坐標是（2^n-1，2ⁿ-1），
∴B₆的坐標是（32，63）；
故答案為：（32，31），（32，63）；
（2）由（1）得A_n（2^n-1，2^n-1-1）（n為正整數），
∴正方形A_nB_nC_nC_n-1的面積是（2^n-1）²=2^2n-2，
故答案為：（2^n-1，2^n-1-1），2^2n-2（n為正整數）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及規律型中點的坐標的變化，根據點的坐標的變化找出變化規律“A_n（2^n-1，2^n-1-1）（n為正整數）”是解題的關鍵．