Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中點，BC=12，點A坐標是（0，4），CD所在直線的函數關系式為y=-x+9，點P是BC邊上一個動點，
（1）求點D的坐標；
（2）當點P在BC邊上運動過程中，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是否能構成平行四邊形？若能，求出BP的長；若不能，說明理由；
（3）在（2）條件下，以點P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據AD∥BC，可得點D的縱坐標，由此即可解決問題．
（2）分兩種情況：①當P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；
（3）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．由（1）知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據已知條件分別計算一組鄰邊，證明它們相等即可證明是菱形．

解答 解：（1）∵AD∥BC，點A坐標是（0，4），CD所在直線的函數關系式為y=-x+9，
∴D點的縱坐標為4，y=4時，4=-x+9，x=5，
∴D點的橫坐標為5，
∴D（5，4）．

（2）如圖1中，作DN⊥BC交于N，則四邊形OADN為矩形，C（9，0），OC=9，

∴CN=OC-ON=OC-AD=9-5=4，DF=4，
∴△DFC為等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，則AD=PE=5，
有兩種情況：①當P在E的左邊，
∵E是BC的中點，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當BP=1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（3）①當BP=1時，此時CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE=$\sqrt{D{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$≠AD，故不能構成菱形．
②當BP′=11時，以點P′、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
∴EP′=AD=5，
過D作DN⊥BC于N，如圖2所示：

由（1）得：DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-（12-4）=3．
∴DP′=$\sqrt{D{N}^{2}+P′{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴EP′=DP′，
故此時平行四邊形P′DAE是菱形，
即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．

點評 本題是一次函數綜合題目、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．