Question

18．（1）計算：（$\frac{1}{2}$）^-1+|1-$\sqrt{3}$|-（π-3）⁰-$\root{3}{8}$；
（2）化簡：$\frac{a-1}{a+2}$•$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}-2a+1}$÷$\frac{1}{1-{a}^{2}}$；
（3）解不等式組：$\left\{\begin{array}{l}{5x+2≥3x-6}\\{\frac{x-2}{6}＞\frac{x}{2}-1}\end{array}\right.$，并寫出它的非負整數解．
（4）關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²+1=0．設x₁，x₂分別是方程的兩個根，且滿足x₁²+x₂²=x₁x₂+10，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）將（$\frac{1}{2}$）^-1=2、（π-3）⁰=1、$\root{3}{8}$=$\sqrt{2}$代入原式，再根據實數的運算即可得出結論；
（2）根據完全平方差、完全平凡公式結合分式的運算，即可得出結論；
（3）根據不等式組的解法及步驟，解不等式組即可得出x的取值范圍，取其內的非負整數即可；
（4）根據方程有兩個實數根結合根的判別式即可得出△=-4m-3≥0，解之即可得出m的取值范圍，再根據根與系數的關系結合x₁²+x₂²=x₁x₂+10即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）（$\frac{1}{2}$）^-1+|1-$\sqrt{3}$|-（π-3）⁰-$\root{3}{8}$，
=2+$\sqrt{3}$-1-1-$\sqrt{2}$，
=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（2）原式=$\frac{a-1}{a+2}$•$\frac{（a+2）（a-2）}{（a-1）^{2}}$÷$\frac{1}{（1+a）（1-a）}$，
=$\frac{a-1}{a+2}$•$\frac{（a+2）（a-2）}{（a-1）^{2}}$•（1+a）（1-a），
=-（a-2）（1+a），
=-a²+a+2．
（3）$\left\{\begin{array}{l}{5x+2≥3x-6①}\\{\frac{x-2}{6}＞\frac{x}{2}-1②}\end{array}\right.$，
解不等式①，得：x≥-4；
解不等式②，得：x＜2．
∴不等式組的解為-4≤x＜2．
∴x=0和1．
（4）∵方程x²-（2m-1）x+m²+1=0有兩個實數根，
∴△=[-（2m-1）]²-4（m²+1）=-4m-3≥0，
∴m≤-$\frac{3}{4}$．
∵x₁，x₂是方程x²-（2m-1）x+m²+1=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂=x₁x₂+10，即（2m-1）²-2（m²+1）=m²+1+10，
解得：m=-2或m=6（舍去）．
∴實數m的值為-2．

點評 本題考查了根與系數的關系、根的判別式、實數的運算、零指數冪、負整數指數冪、解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數解以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）熟練掌握實數的運算順序；（2）利用消元法將原式進行化簡；（3）熟練掌握解一元一次不等式的方法及步驟；（4）根據根與系數的關系以及根的判別式找出關于m的一元一次不等式以及一元二次方程．