Question

6．已知二次函數y=-x²-x+2的圖象和x 軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線OE過點Q（$-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$）且與拋物線交于點E，直線OE上方的拋物線上一動點P．
（1）求直線OE的解析式；
（2）求△POQ面積的最大值；
（3）如圖2，當△POQ面積最大時，在直線OE上有一動點K，連接PK，求PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK的最小值及此時點K的坐標．

Answer 1

分析 （1）直線OE經過原點，設OE的解析式為y=kx．然后將點Q的坐標代入求解即可；
（2）過點P作PF⊥軸，垂足為F，PD交OE與點D，過點Q作QG⊥PD，垂足為G．設點P的坐標為（a，-a²-a+2），則D（a，$\frac{1}{2}$a）．PD=-a²-$\frac{3}{2}$a+2，然后依據△POQ的面積=△PDO的面積-△PQD的面積，列出△POQ的面積與a的函數關系式，然后利用二次函數的性質求解即可；
（3）過點E作ED⊥y軸，垂足為D，過點K作KM⊥ED垂足為M．先求得點P的坐標，然后將y=$\frac{1}{2}$x與y=-x²-x+2聯立，求得點E的坐標，由OE的解析式可得到sin∠OED=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故此可得到KM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK，當P、K、M在一條直線上時，PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK有最小值，最小值=PM的長，由點P的坐標可得到點K的橫坐標，然后由點K在OE上可求得K的縱坐標．

解答 解：（1）設直線OE的解析式為y=kx．
∵直線OE過點Q（$-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$），
∴-$\frac{1}{2}$k=-$\frac{1}{4}$，解得k=$\frac{1}{2}$．
∴直線OE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
（2）如圖所示：過點P作PF⊥軸，垂足為F，PD交OE與點D，過點Q作QG⊥PD，垂足為G．

設點P的坐標為（a，-a²-a+2），則D（a，$\frac{1}{2}$a）．
∴PD=-a²-$\frac{3}{2}$a+2．
∵△POQ的面積=△PDO的面積-△PQD的面積，
∴△POQ的面積=$\frac{1}{2}$OF•PD-$\frac{1}{2}$PD•QG=-$\frac{1}{4}$a²-$\frac{3}{8}$a+$\frac{1}{2}$．
∴當a=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{3}{4}$時，△POQ的面積最大，最大面積=$\frac{41}{64}$．
（3）如圖2所示：過點E作ED⊥y軸，垂足為D，過點K作KM⊥ED垂足為M．

將x=-$\frac{3}{4}$代入拋物線的解析式得：y=$\frac{35}{16}$．
∴點P（-$\frac{3}{4}$，$\frac{35}{16}$）．
將y=$\frac{1}{2}$x與y=-x²-x+2聯立，解得：x=$\frac{-3+\sqrt{41}}{4}$，x=$\frac{-3-\sqrt{41}}{4}$．
將x=$\frac{-3-\sqrt{41}}{4}$代入y=$\frac{1}{2}$x得：y=$\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$．
∴點E的坐標為（$\frac{-3-\sqrt{41}}{4}$，$\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$）．
∵點E在y=$\frac{1}{2}$x上，
∴tan∠OED=$\frac{1}{2}$．
∴sinOED=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴KM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK．
∴PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK=PK+KM．
∴當P、K、M在一條直線上時，PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK有最小值，最小值=$\frac{35}{16}$-$\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$=$\frac{41+2\sqrt{41}}{16}$．
將x=-$\frac{3}{4}$，代入y=$\frac{1}{2}$x得：y=-$\frac{3}{8}$．
∴點K的坐標為（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{8}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求正比例函數的解析式、二次函數的性質、垂線段最短的性質，銳角三角函數的定義，列出△POQ的面積與a的函數關系式是解答問題（2）的關鍵，將PK+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EK轉化為PK+KM是解答問題（3）的關鍵．