Question

18．已知二次函數y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）
（1）當k=$\frac{1}{2}$時，將這個二次函數的解析式寫成頂點式；
（2）求證：關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有兩個不相等的實數根．

Answer 1

分析 （1）把k代入拋物線解析式，然后利用配方法可確定拋物線的頂點坐標；
（2）計算判別式的值，然后判別式的意義進行證明．

解答 （1）解：把k=$\frac{1}{2}$代入y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）得y=x²-2x+$\frac{3}{4}$，
因為y=（x-1）²-$\frac{1}{4}$
所以拋物線的頂點坐標為（1，-$\frac{1}{4}$）；
（2）證明：△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
所以關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有兩個不相等的實數根．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．