Question

8．如圖（1），拋物線 y=-$\frac{3}{16}$x²平移后過點A（8，0）和原點，頂點為B，對稱軸與x軸相交于點C，與原拋物線相交于點D．

（1）求平移后拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）直接寫出陰影部分的面積 S_陰影；
（3）如圖（2），直線AB與y軸相交于點P，點M為線段OA上一動點（點M不與點A，O重合 ），∠PMN為直角，MN與AP相交于點N，設OM=t，試探究：t為何值時，△MAN為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）利用交點式寫出平移后的拋物線解析式；
（2）如圖1，連接OB、OD，先通過配方法可得到B（4，3），再確定D（4，-3），利用對稱性可得到陰影部分的面積 S_陰影=S_△OBD，然后根據三角形面積公式求解；
（3）先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，作NQ⊥x軸于Q，如圖2，易得P（0，6），AP=10，再證明△MPO∽△NMQ得到$\frac{OM}{NQ}$=$\frac{OP}{MQ}$，然后討論：當NM=NA時，MQ=AQ=$\frac{1}{2}$（8-t），則OQ=$\frac{1}{2}$t+4，接著利用一次函數圖象上點的坐標表示出NQ=-$\frac{3}{8}$t+3，則利用相似比得到$\frac{t}{-\frac{3}{8}t+3}$=$\frac{6}{\frac{1}{2}（8-t）}$，解方程求出滿足條件的t的值；當AM=AN時，AN=AM=8-t，證明△ANQ∽△APO，利用相似比可得到NQ=$\frac{3}{5}$（8-t），AQ=$\frac{4}{5}$（8-t），則MQ=8-t-$\frac{4}{5}$（8-t）=$\frac{8-t}{5}$，然后利用相似比得到$\frac{t}{\frac{3}{5}（8-t）}$=$\frac{6}{\frac{8-t}{5}}$，解方程確定滿足條件的t的值；當MA=MN時，由于∠OAP＜45°，則∠MNA=∠NAM＜45°，原式可判斷∠AMN＞90°，顯然不成立，所以當t為$\frac{9}{2}$時，△MAN為等腰三角形．

解答 解：（1）平移后的拋物線解析式為y=-$\frac{3}{16}$x（x-8），
即y=-$\frac{3}{16}$x²+$\frac{3}{2}$x；
（2）如圖1，連接OB、OD，
y=-$\frac{3}{16}$（x-4）²+3，則B（4，3）
平移后的拋物線的對稱軸為直線x=4，
當x=4時，y=-$\frac{3}{16}$x²=-3，則D（4，-3），
∴點B與點D關于x軸對稱，
∴陰影部分的面積 S_陰影=S_△OBD=$\frac{1}{2}$×3×（4+4）=12；
（3）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（8，0），B（4，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，
作NQ⊥x軸于Q，如圖2，P（0，6），AP=10，
∵∠PMN為直角，
∴∠PMO+∠QMN=90°，
而∠PMO+∠MOP=90°，
∴∠QMN=∠MOP，
∴△MPO∽△NMQ，
∴$\frac{OM}{NQ}$=$\frac{OP}{MQ}$，
當NM=NA時，MQ=AQ=$\frac{1}{2}$（8-t），
∴OQ=8-$\frac{1}{2}$（8-t）=$\frac{1}{2}$t+4，
當x=$\frac{1}{2}$t+4時，y=-$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{2}$t+4）+6=-$\frac{3}{8}$t+3；
∴$\frac{t}{-\frac{3}{8}t+3}$=$\frac{6}{\frac{1}{2}（8-t）}$，解得t₁=8（舍去），t₂=$\frac{9}{2}$；
當AM=AN時，AN=AM=8-t，
∵NQ∥OP，
∴△ANQ∽△APO，
∴$\frac{NQ}{OP}$=$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{AN}{AP}$，即$\frac{NQ}{6}$=$\frac{AQ}{8}$=$\frac{8-t}{10}$，
∴NQ=$\frac{3}{5}$（8-t），AQ=$\frac{4}{5}$（8-t），
∴MQ=8-t-$\frac{4}{5}$（8-t）=$\frac{8-t}{5}$，
∴$\frac{t}{\frac{3}{5}（8-t）}$=$\frac{6}{\frac{8-t}{5}}$，解得t₁=8（舍去），t₂=18（舍去；
當MA=MN時，
∵∠OAP＜45°，
∴∠MNA=∠NAM＜45°，
∴∠AMN＞90°，顯然不成立，
綜上所述，當t為$\frac{9}{2}$時，△MAN為等腰三角形．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和等腰三角形的判定；會運用待定系數法求拋物線的解析式；能運用相似比表示線段之間的關系；會應用分類討論的思想解決數學問題．