Question

7．二次函數y=$\frac{2}{3}$x²的函數圖象如圖，點A₀位于坐標原點，點A₁，A₂，A₃…A₁₀ 在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃…B₁₀在二次函數y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的圖象上，△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃…△A₉B₁₀A₁₀都為等邊三角形，則△A₉B₁₀A₁₀的邊長為10．

Answer 1

分析 根據等邊三角形的性質可得∠A₁A₀B₁=60°，然后表示出A₀B₁的解析式，與二次函數解析式聯立求出點B₁的坐標，再根據等邊三角形的性質求出A₀A₁，同理表示出A₁B₂的解析式，與二次函數解析式聯立求出點B₂的坐標，再根據等邊三角形的性質求出A₁A₂，同理求出B₃的坐標，然后求出A₂A₃，從而得到等邊三角形的邊長為從1開始的連續自然數，與三角形所在的序數相等．

解答 解：∵△A₀B₁A₁是等邊三角形，
∴∠A₁A₀B₁=60°，
∴A₀B₁的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（為原點，舍去），
∴點B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴等邊△A₀B₁A₁的邊長為$\frac{1}{2}$×2=1，
同理，A₁B₂的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+1}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（在第二象限，舍去），
∴B₂（$\sqrt{3}$，2），
∴等邊△A₁B₂A₂的邊長A₁A₂=2×（2-1）=2，
同理可求出B₃（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$），
所以，等邊△A₂B₃A₃的邊長A₂A₃=2×（$\frac{9}{2}$-1-2）=3，
…，
以此類推，系列等邊三角形的邊長為從1開始的連續自然數，
△A₉B₁₀A₁₀的邊長A₉A₁₀=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，主要利用了聯立兩函數解析式求交點坐標，根據點B系列的坐標求出等邊三角形的邊長并且發現系列等邊三角形的邊長為從1開始的連續自然數是解題的關鍵．