Question

9．設點Q到圖形W上每一個點的距離的最小值稱為點Q到圖形W的距離．例如正方形ABCD滿足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么點O（0，0）到正方形ABCD的距離為1．
（1）如果⊙P是以（3，4）為圓心，1為半徑的圓，那么點O（0，0）到⊙P的距離為4；
（2）求點M（3，0）到直線y=2x+1的距離；
（3）如果點N（0，a）到直線y=2x+1的距離為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理可得點O（0，0）到⊙P的距離；
（2）過點M作MH⊥l，垂足為點H，通過證明△EOF∽△MHE，由相似三角形的性質可得MH=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，從而得到點M到直線y=2x+1的距離；
（3）分兩種情況：N在F點的上邊；N在F點的下邊；進行討論先得到EN的長，進一步即可得到a的值．

解答 解：（1）OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
點O（0，0）到⊙P的距離為5-1=4；
故答案為：4；
（2）直線y=2x+1記為l，如圖1，過點M作MH⊥l，垂足為點H，
設l與x，y軸的交點分別為E，F，則E（-$\frac{1}{2}$，0），

∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∵△EOF∽△EHM，
∴$\frac{MH}{OF}$=$\frac{ME}{EF}$，即$\frac{MH}{1}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$．
∴MH=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$；
∴點M到直線y=2x+1的距離為$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．
（3）N在F點的上邊，如圖2，過點N作NG⊥l，垂足為點G，
∵△EOF∽△NGF，
∴$\frac{NG}{EO}$=$\frac{NF}{EF}$，即$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=$\frac{a-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴a=1+3$\sqrt{5}$；
N在F點的下邊，
同理可得a=1-3$\sqrt{5}$；
故a=1±3$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：勾股定理，相似三角形的判定和性質，根與判別式的關系，兩點間的距離公式，方程思想，分類思想，綜合性較強，有一定的難度．