Question

10．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，以AB為邊向外作等邊△ABE，與直線AD交于點F．
（1）求∠DCF；
（2）若AF=9，DF=2，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接BF，在FE上截取FH=BF，連接BH，易證△ABF≌△ACF，即可求得BF=CF、∠ACF=∠ABF，求出∠AEF=∠ACE=∠ABF，求出A、E、B、F四點共圓，求出∠BFE=∠BAE=60°，根據三角形外角性質求出∠DCF即可；
（2）求出△BFH是等邊三角形，根據等邊四邊形的性質求出BF=HF=BH，求出CF長，進而可以求證△EBH≌△ABF，即可求得EH=AF=9，即可求得EF的長．

解答 解：（1）連接BF，在FE上截取FH=BF，連接BH，

∵AB=AC，AD是BC中線，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AB=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠AEF=∠ABF，
∴A、E、B、F四點共圓，
∴∠BFE=∠EAB=60°，
∵FH=BF，
∴∠BFH=∠BHF=60°，
∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴BF=CF，
∴∠DCF=∠DBF，
∵∠DCF+∠DBF=∠BFH=60°，
∴∠DCF=30°；

（2）∵AD⊥BC，∠DCF=30°，DF=2，
∴CF=2DF=4，
∵由（1）知BF=CF，
∴BF=4，
∵BF=BH，∠BFH=60°，
∴△BFH為等邊三角形，
∴BF=FH=BH=4，∠FBH=∠EBA=60°，
∴∠ABF=∠EBH=60°-∠ABH，
在△EBH和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠EBH=∠ABF}\\{HB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF，
∵AF=9，
∴EH=9，
∴EF=EH+HF=9+4=13．

點評 本題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的性質和判定等知識點，還考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△ABF≌△ACF和△EBH≌△ABF是解題的關鍵．