Question

15．已知：如圖，平面直角坐標系中，點B坐標為（-4，0），點A為線段OB中點，點P在第三象限，且AP⊥y軸，PF⊥y軸，D為BP中點，連接DA并延長交y軸于點C，FE⊥DC．
（1）直接寫出點A坐標（-2，0）；
（2）求證：BP=AC；
（3）若點E為AC中點，連接PE，判斷△PEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據點B的坐標以及中點的定義即可解決問題．
（2）只要證明△PBA≌△CAO即可．
（3）如圖延長PE交y軸于M．由△PAE≌△MCE，推出EP=EM，由∠PFM=90°，推出EF=PE（直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半）．

解答 （1）解：∵B（-4，0），AB=OA，
∴點A坐標為（-2，0）．
故答案為（-2，0）

（2）證明：∵PA⊥AB，
∴∠BAP=∠AOC=90°，
∵BD=DP，
∴AD=DB=PD，
∴∠ABP=∠BDA=∠CAO，
在△PBA和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠AOC}\\{AB=AO}\\{∠ABP=∠CAO}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌△CAO，
∴PB=CA．

（3）解：結論：△PEF是等腰三角形．
理由：如圖延長PE交y軸于M．
∵PA∥CM，
∴∠PAE=∠MCE，
在△PAE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠MCE}\\{AE=EC}\\{∠AEP=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△MCE，
∴EP=EM，
∵∠PFM=90°，
∴EF=PE（直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
∴△PEF是等腰三角形．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．