Question

8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交⊙O的切線BE于點E，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DF=3，DE=2，求$\frac{BE}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD．根據切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可；
（2）①連接BD．根據BE、DF兩切線的性質證明△BDE∽△ABE；又由角平分線的性質、等腰三角形的兩個底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的對應邊成比例求得$\frac{BE}{AD}=\frac{DE}{DF}=\frac{2}{3}$．

解答 （1）證明：如圖，連結OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線，

（2）解：①連接BD，
∵直徑AB，
∴∠ADB=90°，
∵圓O與BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{DE}{DF}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質．比較復雜，解答此題的關鍵是作出輔助線，利用數形結合解答．