Question

17．如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．給出以下結論：①DG=DF；②四邊形EFDG是菱形；③EG²=$\frac{1}{2}$GF×AF；④當AG=6，EG=2$\sqrt{5}$時，BE的長為$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，其中正確的結論個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先依據翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF，連接DE，交AF于點O．由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF²=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系，過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據BE=AD-GH求解即可．

解答 解：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性質可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．故①正確；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四邊形EFDG為菱形，故②正確；
如圖1所示：連接DE，交AF于點O．

∵四邊形EFDG為菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{OF}{DF}$，即DF²=FO•AF．
∵FO=$\frac{1}{2}$GF，DF=EG，
∴EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF．故③正確；
如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．

∵EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF，AG=6，EG=2$\sqrt{5}$，
∴20=$\frac{1}{2}$FG（FG+6），整理得：FG²+6FG-40=0．
解得：FG=4，FG=-10（舍去）．
∵DF=GE=2$\sqrt{5}$，AF=10，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴$\frac{GH}{AD}$=$\frac{FG}{AF}$，即$\frac{GH}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4}{10}$，
∴GH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=AD-GH=4$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．故④正確．
故選D．

點評 本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、菱形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用，利用相似三角形的性質得到DF²=FO•AF是解題答問題②的關鍵，依據相似三角形的性質求得GH的長是解答問題④的關鍵．