Question

19．設方程2x²+3x-1=0的兩根為x₁和x₂，不解方程求下列各式的值．
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$．

Answer 1

分析 根據根與系數的關系即可得出x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）利用通分以及配方法將$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$變形為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，再代入x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$、x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$即可算出結果；
（2）利用通分以及配方法將$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+1}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$變形為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，再代入x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$、x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$即可算出結果．

解答 解：∵方程2x²+3x-1=0的兩根為x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}-2×（-\frac{1}{2}）}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{13}{2}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+1}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{（x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}•{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{3}{2}）-2×（-\frac{1}{2}）}{-\frac{1}{2}+（-\frac{3}{2}）}$=-$\frac{7}{8}$．

點評 本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）將原式變形為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$；（2）將原式變形為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}$．