Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線F：y=ax²+2ax+c經過A（-4，0），B（0，4）兩點，與x軸交于另一點C，直線y=x+5與x軸交于點D，與y軸交于點E．
（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）求點B關于直線y=x+5的對稱點B′，并判斷點B′是否在拋物線的對稱軸上；
（3）畫出函數y=|ax²+2ax+c|的圖象F′，并寫出過點B且與圖象F′恰有三個公共點的直線表達式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖1中，連接BB′交DE于K．求出B′的坐標即可解決問題．
（3）如圖2中，當直線y=kx+4與拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4只有一個交點時，過點B且與圖象F′恰有三個公共點，把問題轉化為方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$只有一組解即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-4，0），B（0，4）兩點坐標代入y=ax²+2ax+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a-8a+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴頂點坐標為（-1，$\frac{9}{2}$）．

（2）如圖1中，連接BB′交DE于K．

∵直線DE的解析式為y=x+5，BB′⊥DE，
∴直線BB′的解析式為y=-x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=x+5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴K（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∵BK=KB′，
∴B′（-1，5），
∵拋物線的對稱軸x=-1，
∴點B′在拋物線的對稱軸上．

（3）如圖2中，當直線y=kx+4與拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4只有一個交點時，過點B且與圖象F′恰有三個公共點

由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2+2k）x=0，
由題意△=0，∴2+2k=0，
∴k=-1，
∴過點B且與圖象F′恰有三個公共點的直線表達式為y=-x+4．

點評 本題考查二次函數與坐標軸的交點、一次函數的應用、一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．