Question

3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，OP垂直于弦AC，PA是⊙O的切線，求證：△ABC∽△POA．

Answer 1

分析 根據直徑所對的圓周角為直角可知∠C=90°，又OP垂直于弦AC，可得BC∥OP，根據平行線的性質得出∠B=∠AOP，再根據切線的性質知∠OAP=90°，利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可證明△ABC∽△POA．

解答 證明：∵AB是直徑，
∴∠C=90°，即BC⊥AC，
∵OP⊥AC，
∵BC∥OP，
∴∠B=∠AOP，
∵PA是⊙O的切線，切點為A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA．

點評 本題考查了相似三角形的判定，切線的性質，平行線的性質等知識，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．