Question

16．工人師傅用8米長的鋁合金材料制作一個如圖所示的矩形窗框，圖中的①、②、③區域都是矩形，且BE=2AE，M，N分別是AD、EF的中點．（說明：圖中黑線部分均需要使用鋁合金材料制作，鋁合金材料寬度忽略不計）．
（1）當矩形窗框ABCD的透光面積是2.25平方米時，求AE的長度．
（2）當AE為多長時，矩形窗框ABCD的透光面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）設AE=x米，根據已知條件表示出BC和AB的長，根據AB×BC=矩形面積2.25列出方程，解方程可得；
（2）先由長×寬=矩形面積得到函數關系式，根據公式可得函數最大值．

解答 解：（1）∵①、②、③號區域都是矩形，且BE=2AE，設AE=x米，
∴AE=MN=DF=x米，BE=CF=2x米，
∴BC=$\frac{8-7x}{3}$，
∴$\frac{8-7x}{3}$•3x=2.25，解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{9}{14}$，
∴AE的長度是$\frac{1}{2}$米或$\frac{9}{14}$米；
（2）設矩形ABCD的面積是y平方米，
則y=3x•$\frac{8-7x}{3}$=-7x²+8x，
當x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{4}{7}$時，y_最大=$\frac{4}{7}$×4=$\frac{16}{7}$，
答：當AE為$\frac{4}{7}$時，矩形窗框ABCD的透光面積最大，最大面積是$\frac{16}{7}$．

點評 本題主要考查二次函數的實際應用，表示出所需長度是解題基礎，列出方程和函數關系式是關鍵．