Question

6．已知，建立如圖所示的直角坐標系，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，請你根據所學的知識：
（1）求出△ABC的面積；
（2）判斷△ABC是什么形狀？并說明理由；
（3）求直線AC的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）用長方形的面積減去三個小三角形的面積即可求出△ABC的面積．
（2）根據勾股定理求得△ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行判定，從而不難得到其形狀．
（3）設直線AC的函數表達式為y=kx+b，把A（0，3），C（8，4）代入得出方程組，解方程組即可．

解答 解：（1）△ABC的面積=4×8-1×8÷2-2×3÷2-6×4÷2=13．
故△ABC的面積為13；
（2）△ABC是直角三角形；理由如下：
∵正方形小方格邊長為1
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{65}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵在△ABC中，AB²+BC²=13+52=65，AC²=65，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形．
（3）設直線AC的函數表達式為y=kx+b，
把A（0，3），C（8，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{8k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數表達式為y=$\frac{1}{8}$x+3．

點評 本題考查了正方形的性質，三角形的面積，勾股定理，勾股定理的逆定理，用待定系數法求直線的解析式；熟練掌握勾股定理、勾股定理的逆定理以及待定系數法是解決問題的關鍵．