Question

10．已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標(biāo)為（-1，0），與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍；函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）通過解方程-x²+2x+3=0可得拋物線與x軸兩交點坐標(biāo)，從而得到二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的坐標(biāo)；
（3）觀察函數(shù)圖象，寫出函數(shù)圖象在x軸上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍和在x軸下方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．

解答 解：（1）把（-1，0）、（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得b=2，c=3，
所以二次函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3；
（2）當(dāng)y=0時，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以拋物線與x軸兩交點坐標(biāo)為（-1，0），（3，0），
即二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為（3，0）；
（3）當(dāng)-1＜x＜3時，y＞0；
當(dāng)x＜-1或x＞3時，y＜0．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．