Question

15．如圖，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連接DE、EF，下列結論：①AB=2BD；②圖中有4對全等三角形；③若將△DEF沿EF折疊，則點O不一定落在AC上；④BD=BF，上述結論中正確的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ②④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根據折疊的知識，銳角正切值的定義，全等三角形的判定，面積的計算判斷所給選項是否正確即可．

解答 解：①由折疊可得BD=DE，∠AED=∠ABD=90°，即∠DEC=90°，
∵DC＞DE，
∴DC＞BD，
∴tan∠ADB≠2，故①錯誤；
②由翻折的性質可知：圖中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED．
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL）．
則全等三角形共有4對，故②正確；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF．
∴∠AEF=∠DEF=45°，
∴將△DEF沿EF折疊，可得點D一定在AC上，故③錯誤；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO為∠ABC的平分線，即∠ABO=∠OBC=45°．
由折疊可知，AD是∠BAC的平分線，即∠BAF=22.5°．
又∵∠BFD為三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°．
∴∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°．
∴∠BFD=∠BDF．
∴BD=BF，故④正確．
故選B．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定、三角形外角的性質，掌握翻折的性質是解題的關鍵．