Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點，拋物線的頂點為D．
（1）求b，c的值；
（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下：
①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；
②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（-1，0）、B（4，5），然后利用待定系數法即可求得b，c的值；
（2）由直線AB經過點A（-1，0），B（4，5），即可求得直線AB的解析式，又由二次函數y=x²-2x-3，設點E（t，t+1），則可得點F的坐標，則可求得EF的最大值，求得點E的坐標；
（3）①順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD，可求出點F的坐標（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），點D的坐標為（1，-4）由S_{四邊形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF即可求得；
②過點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m²-2m-3），可得m²-2m-3=$\frac{5}{2}$，即可求得點P的坐標，又由過點F作b⊥EF交拋物線于P₃，設P₃（n，n²-2n-3），可得n²-2n-2=-$\frac{15}{4}$，求得點P的坐標，則可得使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形的P的坐標．

解答 解：（1）由已知得：A（-1，0），B（4，5），
∵二次函數y=x²+bx+c的圖象經過點A（-1，0），B（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$；

如圖：∵直線AB經過點A（-1，0），B（4，5），
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵二次函數y=x²-2x-3，
∴設點E（t，t+1），則F（t，t²-2t-3），
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當t=$\frac{3}{2}$時，EF的最大值為$\frac{25}{4}$，
∴點E的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；

（3）①如圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD．

可求出點F的坐標（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），點D的坐標為（1，-4）
S_{四邊形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×（4-$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×（$\frac{3}{2}$-1）=$\frac{75}{8}$；

②如圖：

（ⅰ）過點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m²-2m-3）
則有：m²-2m-3=$\frac{5}{2}$，
解得：m₁=1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，m₂=1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴P₁（1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$）；

（ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于P₃，設P₃（n，n²-2n-3）
則有：n²-2n-3=-$\frac{15}{4}$，
解得：n₁=$\frac{1}{2}$，n₂=$\frac{3}{2}$（與點F重合，舍去），
∴P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
綜上所述：所有點P的坐標：P₁（1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．

點評 此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，四邊形與三角形面積問題以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意方程思想與數形結合思想的應用．