Question

19．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC延長線上一點，點E是邊AC上一點，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$．
（1）求證：$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$；
（2）如果設BD=7，AB=$\overrightarrow{a}$，BC=$\overrightarrow{b}$，使用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的線性組合表示CE．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，根據“等邊對等角”得到一對角相等，由已知的兩角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形BCE與三角形DBA相似，由相似得比例得證；
（2）由$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$得CE=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{4}{7}$AC，根據$\overrightarrow{CE}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{4}{7}$（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）可得答案．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠D，
∴△BCE∽△DBA．
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$．

（2）∵$\frac{CE}{AB}$=$\frac{BC}{BD}$，BC=4，BD=7，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{4}{7}$，即CE=$\frac{4}{7}$AB，
又AB=AC，
∴CE=$\frac{4}{7}$AC，
∴$\overrightarrow{CE}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{4}{7}$（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{4}{7}$（-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{b}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質及向量的運算，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．