Question

8．如圖．在Rr△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線交CD于G，交BC于E，∠DCB的平分線交BD于F，連接EF，FG．
（1）求證：四邊形CEFG為菱形；
（2）若∠B=45°，請直接寫出圖中所有等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據四邊相等的四邊形是菱形，即可證明．
（2）等腰直角三角形有：△ABC，△ACD，△CDB，△GDF，△EFB．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，同理∠ACD=∠B，
∵∠CAE=∠EAB，∠BCF=∠FCD，
∴∠BCF=∠CAE，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠CAE+∠ACF=90°，
∴AE⊥CF，
∴∠CAE+∠ACF=90°，∠EAF+∠AFC=90°，
∴∠ACF=∠AFC，
∴AC=AF，
在△ACG和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{∠GAC=∠GAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△AGF，
∴CG=GF，同理證明CE=EF，
∵∠CGE=∠ACG+∠CAG，∠CEG=∠EAB+∠B，
∴∠CGE=∠CEG，
∴CG=CE=FG=EF，
∴四邊形CEFG是菱形．

（2）當∠B=45°時，圖中等腰直角三角形有：△ABC，△ACD，△CDB，△GDF，△EFB．

點評 本題考查菱形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，本題的證明方法比較多，屬于中考常考題型．