Question

7．如圖1，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）求該拋物線所對應的函數解析式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
②當t=1時，射線AB上存在點Q，使△QME為直角三角形，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用頂點坐標假設出解析式，進而將（0，0）代入得出解析式即可；
（2）①根據題意得出P點坐標，進而表示出N點坐標，進而利用當PN=0，即t=0或t=3時，P、N、C、D所構成的多邊形為三角形，求出面積即可，再利用當PN≠0時，P、N、C、D四點所構成的多邊形是四邊形，求出面積即可，即可得出最值；
②分別以Q，M為直角頂點去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）設所求函數關系式為y=a（x-2）²+4，
把（0，0）代入解析式得a（0-2）²+4=0，
解得，a=-1，
故函數解析式為y=-（x-2）²+4，
整理得y=-x²+4x．

（2）存在．
①∵將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動；
同時AB上一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速運動，設它們的運動時間為t秒，
依題意，點P的坐標為：（t，t），點N的坐標為：（t，-t²+4t），
故PN=-t²+3t，
則有：當PN=0，
即t=0或t=3時，分別如圖1，2，
P、N、C、D所構成的多邊形為三角形，
此時S=$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
當PN≠0時，如圖3，
P、N、C、D四點所構成的多邊形是四邊形，
∵PN∥CD，AD⊥DC，
∴S=$\frac{1}{2}$（CD+PN）•AD，
=$\frac{1}{2}$[3+（-t²+3t）]×2，
=-t²+3t+3，
=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$（0≤t≤3），
∴當t=$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{21}{4}$＞3，
綜上可知P、N、C、D所構成的多邊形的面積S有最大值，這個最大值為：$\frac{21}{4}$；

②如圖4，作點M作MG⊥AB于點G，作MH⊥x軸于點H，
∵M（2，4），E（4，0），
則EH=2，MH=4，MG=2-1=1，
設點Q的坐標為（1，m），
若∠QME=90°，則△MGQ∽△MHE，
∴MG：GQ=MH：EH，
∴1：GQ=4：2，
解得：GQ=0.5，
∴m=4-0.5=3.5，
∴點Q的坐標為（1，3.5）；
若∠MQE=90°，則△MGQ∽△QAE，
∴MG：GQ=AQ：AE，
∴1：（4-m）=m：3，
解得：m=1或m=3，
∴點Q的坐標為（1，1）或（1，3）；
若∠QEM=90°，則點Q在BA的延長線上，不符合題意．
綜上所述：點Q的坐標為：（1，3.5），（1，1），（1，3）．

點評 此題屬于二次函數的綜合題．考查了待定系數求函數解析式的知識、平移問題、矩形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．