Question

17．已知拋物線y=ax²+x+2（a≠0）
（1）若拋物線經(jīng)過（-1，0），求a的值，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)
（2）當(dāng)a取a₁時(shí)，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A（m，0），當(dāng)a取a₂時(shí)，拋物線與x軸交于點(diǎn)B（n，0），若點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊，試比較a₁與a₂的大小．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（-1，0）代入可得a的值，再將解析式配方成頂點(diǎn)式即可得出答案；
（2）將a=a₁，x=m代入y=ax²+x+2中，可求a₁，同理可求a₂，利用作差法求a₁-a₂，并化簡，根據(jù)點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，得0＜m＜n，由此判斷a₁-a₂的符號(hào)，判斷a₁與a₂的大小．

解答 解：（1）將點(diǎn)（-1，0）代入得：a-1+2=0，
解得：a=-1，
∴y=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；

（2）方法一：∵當(dāng)a=a₁時(shí)，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A（m，0），
∴0=a₁m²+m+2①，
∵當(dāng)a=a₂時(shí)，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點(diǎn)B（n，0），
∴0=a₂n²+n+2②，
∴a₁=$\frac{-m-2}{{m}^{2}}$，a₂=$\frac{-n-2}{{n}^{2}}$，
∴a₁-a₂=$\frac{-m-2}{{m}^{2}}$-$\frac{-n-2}{{n}^{2}}$=$\frac{-m{n}^{2}-2{n}^{2}+n{m}^{2}+2{m}^{2}}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{mn（m-n）+2（m+n）（m-n）}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{（mn+2m+2n）（m-n）}{{m}^{2}{n}^{2}}$，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊，且A、B均在x軸正半軸，
∴m＞0，n＞0，m＜n，
∴mn+2m+2n＞0，m-n＜0，m²n²＞0，
∴a₁-a₂=$\frac{（mn+2m+2n）（m-n）}{{m}^{2}{n}^{2}}$＜0，
∴a₁＜a₂．
方法二：
拋物線y=ax²+x+2的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2a}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，x=-$\frac{1}{2a}$＜0，
此時(shí)，拋物線y=ax²+x+2的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，
又∵拋物線y=ax²+x+2與y軸相交于點(diǎn)（0，2），
∴拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸無交點(diǎn)．
∴a＞0不合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，即a₁＜0，a₂＜0．
經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線y=a₁x²+x+2的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2{a}_{1}}$，
經(jīng)過點(diǎn)B的拋物線y=a₂x²+x+2的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2{a}_{2}}$，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，2），
（此時(shí)兩條拋物線如圖所示）．

∴直線x=-$\frac{1}{2{a}_{1}}$在直線x=-$\frac{1}{2{a}_{2}}$的左側(cè)，
∴-$\frac{1}{2{a}_{1}}$＜-$\frac{1}{2{a}_{2}}$，
∴a₁＜a₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線解析式求函數(shù)最大值，確定函數(shù)的正整數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)的正整數(shù)值求對(duì)應(yīng)的x值，根據(jù)函數(shù)式求a₁，a₂的表達(dá)式，利用作差法比較a₁，a₂的大小．