Question

11．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．

（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，四邊形OANB的面積有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，設(shè)點P為直線x=t上的一個動點，求使△APB為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)可求得A、B坐標，代入可求得拋物線解析式；
（2）用t可分別表示出M、N的坐標，則可表示出MN的長度，由于△OAB不變，故當△ABN面積最大時，四邊形OANB的面積最大，用t可表示出△ABN的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；
（3）由（2）可求得t的值，可設(shè)出P點坐標，從而表示出PA、PB和AB的長，再分∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三種情況利用勾股定理分別得到方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令x=0可得y=2，令y=0可求得x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2；
（2）由題意可知N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
∵M、N在第一象限，
∴MN=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∵-1＜0，
∴當t=2時，MN有最大值，最大值為4，
∵A（0，2），B（4，0），
∴S_{四邊形OANB}=S_△OAB+S_△NAB=$\frac{1}{2}$OA•OB+$\frac{1}{2}$MN（4-0）=$\frac{1}{2}$×2×4+2[-（t-2）²+4]=-2（t-2）²+12，
∴當t=2時，四邊形OANB的面積最大，最大值為12；
（3）由（2）可知t=2，
∴可設(shè)P（2，m），
∴PA²=（2-0）²+（m-2）²=m²-4m+8，PB²=（2-4）²+（m-0）²=m²+4，AB²=2²+4²=20，
∵△PAB為直角三角形，
∴有∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三種情況，
①當∠PAB=90°時，則有PA²+AB²=PB²，
∴m²-4m+8+20=m²+4，解得m=6，
∴P（2，6）；
②當∠PBA=90°時，則有PB²+AB²=PA²，
∴m²+4+20=m²-4m+8，解得m=-4，
∴P（2，-4）；
③當∠APB=90°時，則有PA²+PB²=AB²，
∴m²-4m+8+m²+4=20，解得m=1+$\sqrt{5}$或m=1-$\sqrt{5}$，
∴P（2，1+$\sqrt{5}$） 或P（2，1-$\sqrt{5}$），
綜上可知P點坐標為（2，6）或（2，-4）或（2，1+$\sqrt{5}$）或（2，1-$\sqrt{5}$）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、三角形的面積、勾股定理、方程思想及分類討論．在（1）中求得A、B兩點的坐標即可，在（2）中用t表示出MN的長度是解題的關(guān)鍵，在（3）用P點坐標分別表示出PA、PB的長是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．