Question

3．觀察下面三行數：
-2，4，-8，16，-32，64…；
0，6，-6，18，-30，66…；
-1，$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{4}$，$\frac{7}{8}$，$-\frac{9}{16}$，$\frac{11}{32}$，…；
（1）第一行數的第8個數為256；
（2）若第一行的第n個數用（-2）ⁿ表示，則第二行第n個數表示為（-2）ⁿ+2，第三行的第n個數表示為$\frac{2（2n-1）}{{{{（-2）}^n}}}$；
（3）取每一行的第m個數，三個數的和記為p，
①當m=9時，求p的值；
②當m=11時，|p+4000|的值最小．

Answer 1

分析 （1）根據題意得出第1行的每個數為-2的序數次冪，據此可得；
（2）由題意知，第2行每個數比第1行相應的數大2及第3行的每個數是第1行相應數的倒數的2倍與對應奇數的積，據此可得；
（3）①列出p的代數式，將m=9代入可得；②根據|p+4000|=|（-2）^m+（-2）^m+2+$\frac{2（2m-1）}{（-2）^{m}}$+4000|=|2（-2）^m+$\frac{4m-2}{（-2）^{m}}$+4002|，若m為偶數，則m越大|p+4000|的值越大，可知m應為奇數，分別求出m=9、11、13時的值可得答案．

解答 解：（1）∵第1個數-2=（-2）¹，第2個數4=（-2）²，第3個數-8=（-2）³，…
∴第8個數為（-2）⁸=256，
故答案為：256；

（2）由題意知，第2行每個數比第1行相應的數大2，
∴若第一行的第n個數用（-2）ⁿ表示，則第二行第n個數表示為（-2）ⁿ+2；
∵第3行的每個數是第1行相應數的倒數的2倍與對應奇數的積，
∴第三行的第n個數表示為$\frac{2（2n-1）}{{{{（-2）}^n}}}$，
故答案為：（-2）ⁿ+2，$\frac{2（2n-1）}{{{{（-2）}^n}}}$；

（3）①當m=9時，p=（-2）⁸+（-2）⁸+2+$\frac{2×（2×9-1）}{（-2）^{9}}$=-1022$\frac{17}{256}$；
∵|p+4000|=|（-2）^m+（-2）^m+2+$\frac{2（2m-1）}{（-2）^{m}}$+4000|=|2（-2）^m+$\frac{4m-2}{（-2）^{m}}$+4002|，
若m為偶數，則m越大，|p+4000|的值越大；
∴m應為奇數，
則當m=9時，|p+4000|=|-1022$\frac{17}{256}$+4000|=3977$\frac{239}{256}$，
當m=11時，|p+4000|=97$\frac{21}{1024}$，
當m=13時，|p+4000|=-12382$\frac{5}{1024}$，
∴m=11時，|p+4000|的值最小，
故答案為：11．

點評 本題主要考查數字的變化規律，根據題意得出第1行的每個數為-2的序數次冪、第2行每個數比第1行相應的數大2及第3行的每個數是第1行相應數的倒數的2倍與對應奇數的積是解題的關鍵．