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10.如圖為拋物線y1=x2-3,且拋物線y2是由拋物線y1向右平移2個單位得到的.
(1)寫出拋物線y2的函數表達式,并在直角坐標系中畫出拋物線y2
(2)過點(0,a-3)(a為實數)作x軸的平行線,與拋物線y1,y2共有4個不同的交點,設這4個交點的橫坐標分別是x1,x2,x3,x4
①求a的取值范圍;
②若x1<x2<x3<x4,試求x4-x3+x2-x1的最大值.

分析 (1)根據拋物線平移的規律即可得到結論;
(2)根據函數解析式圖象可知,若過點(0,a-3)(a為實數)作x軸的平行線,與函數y1、y2的圖象共有4個不同的交點時,則a-3>-3且a≠1,再分別求出y1、y2分別等于a-3時x的值,分0<a<1和a>1時x1、x2、x3、x4的值,從而代入x4-x3+x2-x1可知最值情況,

解答 解:(1)∵拋物線y2是由拋物線y1向右平移2個單位得到的,
∴y2═(x-2)2-3,
如圖1所示;
(2)①∵y1=x2-3,y2=(x-2)2-3,
結合圖象,由題意,知:a-3>-2,
∴a>1,
∴a的取值范圍為:a>0且a≠1;
②令y1=a-3,則x2-3=a-3 解得x=±$\sqrt{a}$,
令y2=a-3,則(x-2)2-3=a-3,解得x=2±$\sqrt{a}$,
因為x1<x2<x3<x4,顯然x1=-$\sqrt{a}$,x4=2+$\sqrt{a}$,
∵a≠1,則a的取值范圍是a>0且a≠1,
當0<a<1時,$\sqrt{a}$<2-$\sqrt{a}$,∴x2=$\sqrt{a}$,x3=2-$\sqrt{a}$,
∴x4-x3+x2-x1=4$\sqrt{a}$<4,
當a>1時,$\sqrt{a}$>2-$\sqrt{a}$,
∴x3=$\sqrt{a}$,x2=2-$\sqrt{a}$,
∴x4-x3+x2-x1=4,
綜上所述,x4-x3+x2-x1的最大值為4.

點評 本題考查函數的綜合問題,涉及待定系數法求解析式,二次函數圖象的性質,一元二次方程的解法和數形結合的思想,綜合程度較高,需要學生利用數形結合的思想解決問題.

練習冊系列答案
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