Question

18．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，直接寫出∠α、∠1、∠2之間關(guān)系為：∠1=90°+∠2+α．（不需說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接PC．由∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2=（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），由∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，即可推出∠1+∠2=140°．
（2）結(jié)論：∠1+∠2=90°+α．證明方法類似（1）．
（3）由∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，由∠C=90°，即可推出∠1=90°+∠2+α．

解答 解：（1）如圖1中，連接PC．

∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，
∴∠1+∠2=140°．

（2）結(jié)論：∠1+∠2=90°+α．
理由如圖2中，連接PC．

∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α
∴∠1+∠2=90°+α．

（3）如圖3中，

∵∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，
∵∠C=90°，
∴∠1=90°+∠2+α．
故答案為∠1=90°+∠2+α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)，屬于中考常考題型．