Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（x₁，y₁）是反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，B（x₂，y₂）是反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的圖象上的一點(diǎn)，則△AOB的面積的最小值為2．

Answer 1

分析 如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，根據(jù)已知條件得到S_△BOD=2，S_△ACO=$\frac{1}{2}$，y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$y₂=$\frac{4}{{x}_{2}}$，于是得到S_△AOB=S_{四邊形ABDC}-S_△BOD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$（$\frac{4{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{4{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$≥$\frac{1}{2}$×$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，
∵A（x₁，y₁）是反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，B（x₂，y₂）是反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的圖象上的一點(diǎn)，
∴S_△BOD=2，S_△ACO=$\frac{1}{2}$，y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$y₂=$\frac{4}{{x}_{2}}$，
∴S_△AOB=S_{四邊形ABDC}-S_△BOD-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）（x₁+x₂）-$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{1}{2}$（x₁y₁+x₂y₂+x₁y₂+x₂y₁）-$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{1}{2}$+2+$\frac{1}{2}$（x₁y₂+x₂y₁）-$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$≥$\frac{1}{2}$×$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即△AOB的面積的最小值為2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．