Question

8．已知：如圖1，數軸上有兩點A、B，點C，D分別從原點O與點B出發，以1cm/s、3cm/s的速度沿BA方向同時向左運動，運動方向如箭頭所示．
（1）若點A表示的數為-3，點B表示的數為9．
①當點C、D運動了2秒時，點C表示的數為-2，點D表示的數為3；
②點C、D運動多長時間，C、D兩點運動到原點的距離相等？
（2）如圖2，點C在線段OA上，點D在線段OB上運動，在點C、D運動的過程中，滿足OD=3AC．
①探究OA與AB滿足的數量關系：OA=$\frac{1}{4}$AB（直接寫出結果）；
②利用上述結論解決問題：若N是直線AB上一點，且AN-BN=ON，求$\frac{ON}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）①計算出OC及BD的長，進而可得出答案；
②設點C、D運動xs，C、D兩點運動到原點的距離相等，根據題意列出方程，解方程即可求得；
（2）①根據題意得出3（OA-x）=OB-3x，求得OA和OB的關系，即可求得結論；
②分兩種情況分別討論求得即可．

解答 （1）①當點C、D運動了2s時，OC=2cm，BD=6cm，
∴OD=OB-BD=9-6=3cm，
∴C表示的數為：-2，D表示的數為：3，
故答案為-2，3；                  
②設點C、D運動xs，C、D兩點運動到原點的距離相等，
根據題意：x=9-3x或x=3x-9，
解得x=$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{2}$，
∴點C、D運動$\frac{9}{4}$s或$\frac{9}{2}$s，C、D兩點運動到原點的距離相等；        
（2）①∵點C在線段OA上，點D在線段OB上運動，在點C、D運動的過程中，滿足OD=3AC．
∴3（OA-x）=OB-3x，
∴3OA=OB，
∴OA=$\frac{1}{4}$AB，
故答案為$\frac{1}{4}$；      
②當點N在線段AB上時，如下圖，

∵AN-BN=ON，又∵AN-AO=ON
∴BN=AO=$\frac{1}{4}$AB，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{ON}{AB}$=$\frac{1}{2}$；
 當點N在線段AB的延長線上時，如下圖

∵AN-BN=ON，
又∵AN-BN=AB，
∴ON=AB，即$\frac{ON}{AB}$=1，
綜上所述，$\frac{ON}{AB}$=$\frac{1}{2}$或1．

點評 本題考查求線段的長短的知識及一元一次方程的應用，有一定難度，關鍵是細心閱讀題目，理清題意后再解答．