Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線．
實驗與探究：
（1）由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出它們的坐標：B′（3，5）、C′（5，-2）；
歸納與發現：
（2）結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發現：坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（b，a）（不必證明）；
運用與拓廣：
（3）已知兩點D（1，-3）、E（-1，-5），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小．

Answer 1

分析 （1）根據點關于直線對稱的定義，作出B、C兩點關于直線l的對稱點B′、C′，寫出坐標即可．
（2）通過觀察即可對稱結論．
（3）作點E關于直線l的對稱點E′（（-5，-1），連接DE′交直線l于Q，此時QE+QD的值最小．

解答 解：（1）B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置如圖所示．
B′（3，5），C′（5，-2）．
故答案為B′（3，5），C′（5，-2）．

（2）由（1）可知點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為P′（b，a）．

（3）作點E關于直線l的對稱點E′（（-5，-1），連接DE′交直線l于Q，此時QE+QD的值最小．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、坐標與圖形變化-對稱、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是理解軸對稱的定義，學會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．