Question

5．已知直線y=-x-2與拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+4相交于A、B兩點，點C是拋物線與y軸的交點．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）在AB段的拋物線上是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據解方程組，可得圖象的交點坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標；
（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得D點坐標，根據三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離較大的縱坐標間較小的縱坐標，可得PE的長，根據三角形的面積，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得n的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，
由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6}\\{{y}_{1}=-8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
即A（6，-8）B（-4，2），
y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+4當x=0時，y=4，
點C是拋物線與y軸的交點（0，4）；
（2）如圖1，
設AB的解析式為y=kx+b，將A，B代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-8=6k+b}\\{2=-4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
AB的解析式為y=-x-2，當x=0時，y=-2，即D（0，-2），
CD的長是4-（-2）=6，
S_△ABC=S_△BCD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•|x_B|+$\frac{1}{2}$CD•|x_A|=$\frac{1}{2}$CD（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×6×（6+4）=30；
（3）在AB段的拋物線上存在一點P，使得△ABP的面積最大，
如圖2，作PE垂直于x軸交AB于E點，
設P點坐標為（n，-$\frac{1}{4}$n²-$\frac{1}{2}$n+4），E點坐標為（n，-n-2），
PE的長為-$\frac{1}{4}$n²-$\frac{1}{2}$n+4-（-n-2）=-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$n+6，
S_△PAB=S_△BEP+S_△AEP=$\frac{1}{2}$PE（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$n+6）×（6+4）=-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{5}{2}$n+30=-$\frac{5}{4}$（n-1）²+30+$\frac{5}{4}$，
當n=1時，S_△PAB最大=$\frac{125}{4}$，
n=1時，-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$n+6=$\frac{25}{4}$，
即P點坐標為（1，$\frac{25}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是解方程組；解（2）的關鍵是利用面積的和差得出$\frac{1}{2}$CD（x_A-x_B）；解（3）的關鍵是利用面積的和差得出二次函數，又利用了二次函數的性質．