Question

20．當x為多少時，$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$取得最小值．

Answer 1

分析 把$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$化為$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+（0-4）^{2}}$根據兩點間的距離得到$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的最小值=3$\sqrt{5}$，解方程即可得到結論．

解答 解；求代數式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的最小值，即求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+16}$的最小值，
∴$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+（0-4）^{2}}$的最小值，
實際上就是求x軸上一點到（0，-2）以及（3，4）兩點的和的最小值，
而兩點間的距離是線段最短，所以，點到（0，-2）到點（3，4）的距離即為所求，
即$\sqrt{{3}^{2}+（4+2）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的最小值=3$\sqrt{5}$，
解$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$=3$\sqrt{5}$得x=-1，
∴當x為-1時，$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$取得最小值．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，解方程，正確的理解題意是解題的關鍵．