Question

8．如圖所示，圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為S，S在邊AB、CD上的投影分別為E、F．證明EF的中垂線平分線段AD、BC．

Answer 1

分析 先判斷出△BES∽△CFS得出BS•FS=CS•ES，∠CSE=∠BSF，即可得出BS•FS•cos∠BSF=CS•ES•cos∠CSE，再根據(jù)余弦定理得，BS²+FS²-BF²=CS²+ES²-EC²，即：BS²-ES²+EC²=CS²-FS²+BF²，再根據(jù)勾股定理得出結(jié)論結(jié)合前面的式子得出BE²+EC²=CF²+BF²①，最后用勾股定理和中點(diǎn)即可得出EB²+EC²=2（EM²+BM²）④，同樣的辦法得出
FB²+FC²=2（FM²+BM²）⑤，結(jié)合①④⑤即可判斷出EF的中垂線平分線段BC，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，連接BF，CE，
∵S在邊AB、CD上的投影分別為E、F，
∴∠BES=∠CFS=90°，
∵∠EBS=∠FCS，
∴△BES∽△CFS，
∴∠BSE=∠CSF，
∴∠CSE=∠BSF，
∵△BES∽△CFS，
∴∠$\frac{BS}{CS}=\frac{ES}{FS}$，
∴BS•FS=CS•ES，
∴BS•FS•cos∠BSF=CS•ES•cos∠CSE，
根據(jù)余弦定理得，BS²+FS²-BF²=CS²+ES²-EC²，
∴BS²-ES²+EC²=CS²-FS²+BF²，
在Rt△BES中，BS²-ES²=BE²，
在Rt△CFS中，CS²-FS²=CF²，
∴BE²+EC²=CF²+BF²①，

取BC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M
∴BM=CM，
作EH⊥BC于H，
∴BH=BM-HM，
在Rt△EMH中，EM²=EH²+MH²，
在Rt△EBH中，EB²=EH²+BH²=EH²+（BM-HM）²=EH²+BM²+HM²-2BM•HM+HM²，
∴EB²=EM²+BM²-2BM•HM=EM²+CM²-2CM•HM②，
同理：EC²=EM²+CM²+2CM•HM③，
②+③得，EB²+EC²=2EM²+2CM²=2（EM²+CM²）=2（EM²+BM²）④，
同理：FB²+FC²=2（FM²+BM²）⑤，
由①④⑤得，2（EM²+BM²）=2（FM²+BM²），
∴EM=FM，
∴△EMF是等腰三角形，
∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M是EF的垂直平分線上，
∴EF的中垂線平分線段BC．
同理：EF的中垂線平分線段AD．
即：EF的中垂線平分線段AD、BC．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題．主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，余弦定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是EB²+EC²=2（EM²+BM²）和FB²+FC²=2（FM²+BM²），也是解本題的難點(diǎn)，是一道難度比較大的競(jìng)賽題．